Estudando Funções Quadráticas da Forma y = a.x ²

    Uma função polinomial do 2º grau é chamada de função quadrática.  Toda função quadrática pode ser escrita da forma y = a x ² + b x + c, onde a, b e c são números reais e .  Esta função é freqüentemente chamada de função do 2º grau ou parábola.

Considere a seguinte tabela de valores para a função quadrática y = x ².
 

x	y = x 2
-5	25
-4	16
-3	9
-2	4
-1	1
0	0
1	1
2	4
3	9
4	16
5	25

Qual a razão pela qual a função quadrática é conhecida como do 2º grau?

    Essa eu sei que você acertou na mosca. A razão é que cada valor de y é o quadrado do valor correspondente de x.

Note que mudanças iguais nos valores de x não produzem mudanças iguais nos valores de y.

Examine o gráfico da função quadrática 

        > plot(x^2,x=-4..4,y=-1..15, color=cyan);

    O gráfico da função quadrática é chamado de gráfico da função parábola.  Parábolas têm forma de U e, neste caso particular, com a concavidade voltada para cima.

    Ambos os valores, da tabela e do gráfico ,ilustram que a parábola é simétrica em relação ao eixo y.

    Lembre-se de que as figuras simétricas são aquelas que podem ser movimentadas ao longo de seu eixo de simetria de modo que todos os pontos em um lado coincidem exatamente com sua imagem espelho ou reflexo no outro lado.  O ponto onde a parábola intercepta o seu eixo de simetria é chamado vértice.  O valor de y no vértice é o mínimo (menor) ou o máximo valor de y.

Identifique o eixo de simetria para y = x ².

        Eixo y

Quais são as coordenadas do vértice? ( Veja no gráfico )

Qual é o mínimo valor de y?

Examine o gráfico e a tabela de valores associados com a função y₁ = 1/2 x ².  (O gráfico de y = x ² é indicado pela linha pontilhada para propósitos de comparação.)

Os gráficos de , 

        > with(plots):

        > f:=plot(x^2,x=-4..4,style=point):

        > y[1]:=plot(x^2/2,x=-4..4,y=-1..15, color=green):

        > display({f,y[1]});

x	y1 = 1/2 x 2
-5	12,5
-4	8
-3	4,5
-2	2
-1	0,5
0	0
1	0,5
2	2
3	4,5
4	8
5	12,5

    Identifique o eixo de simetria y =  1/2 x ².

Quais são as coordenadas do vértice?

Qual é o mínimo valor de y?

Considere o gráfico das duas funções quadráticas.

Os gráficos de ( em vermelho ), ( em verde )

> plot({-x^2,-2*x^2},x=-3..3,color=[red,green]);

Note que essas parábolas estão com as concavidades voltadas para baixo.  O valor de y no vértice é o máximo (maior) valor de y.

Identifique o eixo de simetria para y₂ e  y₃ .

Quais são as coordenadas de cada vértice?

Qual é o máximo valor de y₂ e  y₃ ?

    Comparando as equações y = x ² e y= 1/2 x ², que possuem as concavidades voltadas para cima, com  as equações y = - x ² e y = - 2.x ², que possuem concavidade voltada para baixo, faça uma análise sobre quando as parábolas da forma y = a.x ² possuirão a concavidade para cima ou para baixo.

    Cheque sua análise

O que pode ser dito sobre o vértice de uma parábola da forma y = a.x ²?

    O vértice da parábola da forma y = a.x ² é sempre (0, 0).

O que pode ser dito sobre o eixo de simetria de uma parábola da forma y = a.x ²?

    O eixo de simetria da parábola da forma y = a.x ²  é o eixo y.
 
 

Estudando Funções Quadráticas da Forma y = a.x ² + c

Examine o gráfico do trio de funções definidas abaixo.

Os gráficos de ( em azul ), ( em verde ) , ( rosa )

        > plot({2*x^2,2*x^2+3,2*x^2-2.5},x=-2.5..2.5,color=[blue,green,magenta]);

Explique qual o efeito que a constante c em y = a.x ² + c  tem no gráfico da função quadrática.

    Se c > 0, então o gráfico aumentará em c unidades o valor de y.
    Se c < 0, então o gráfico diminuirá em c unidades o valor de y.

Identifique o eixo de simetria para o trio de funções.

Quais são as coordenadas do vértice?

Qual é o mínimo valor de y?

        Dependerá da função:  3 para y₅, 0 para y₄ e -2,5 para y₆
 
 

Modelagem com Funções Quadráticas

Considere que a área de um círculo é dada pela fórmula .  Sendo esta relação quadrática, seu gráfico deveria ser parabólico.

        > plot(Pi*r^2,r=-2..2,color=cyan);

A tabela abaixo pode ser usada para comparar as mudanças na área do círculo como uma função do seu raio.
 
 

r	Área
-5,0	78,54
-4,5	63,62
-4,0	50,26
-3,5	38,48
-3,0	28,27
-2,5	19,63
-2,0	12,57
-1,5	7,07
-1,0	3,14
-0,5	0,78
0	0
0,5	0,78
1,0	3,14
1,5	7,07
2,0	12,57
2,5	19,63
3,0	28,27
3,5	38,48
4,0	50,26
4,5	63,62
5,0	78,54

Por exemplo, podemos analisar quanto a área do círculo muda quando seu raio é dobrado, triplicado ou dividido pela metade.
 

    Para , a área será 

    Para , a área será 

    Quando o raio de um círculo é dobrado, a área do círculo é quadriplicada.

Descubra como a área do círculo muda quando o raio é triplicado.
 

        Para , a área será 

        Para , a área será 

Descreva o que achou.

    A área do círculo é multiplicada por 9 quando o seu raio é triplicado.

Descubra como a área muda quando o raio é divido por dois.

        Para , a área será 

        Para , a área será 

Descreva o que achou.

Aprofundando Seus Conhecimentos

Explique por que o coeficiente a não deve ser zero, para que y = a.x ² + b.x + c possa ser uma função quadrática.

    Se a = 0, então y = a.x ² + b.x + c se tornaria y = b.x + c, que é uma função linear.

Descreva como você pode falar das coordenadas de dois pontos que são reflexos de outros que atravessam o eixo y?

O gráfico de y = g.x ² + 4 é uma parábola que é muito maior que o gráfico de y = h.x ² + 4.  Explique qual é o menor, g ou h.

    g é menor que h, pois g seria comprimido mais verticalmente se fosse maior.